Автор Тема: Число Пи, как следствие изотропии пространства  (Прочитано 2026 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля

Изотропия, это когда свойства объектов не меняются в пространстве, при повороте и смещении их в нм. А в нашем случае: площадь фигуры и объём объекта пропорциональны их размерам, и одинаковы в любой точке пространства, при любом повороте.


Следствием однородности и изотропности пространства является теорема Пифагора, а уж из этой теоремы получается всем хорошо известное число \(\pi\).


Начнём с теоремы Пифагора.


Теорема Пифагора


Тут всё ясно. (Комментарии излишни.)
Замечу только ещё раз, что поворот фигуры в пространстве не меняет её площадь.
Это свойство нашего (изотропного) пространства.
А ещё (и это важно): объём и площадь пропорциональны размерам объектов.
(Если в пространстве есть кривизна - это не работает.)
Именно этим свойствам нашего пространства мы обязаны существованием Великой теоремы - Теореме Пифагора.

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля

И так, теорема Пифагора у нас есть.
Получим из неё \(\pi\).
Для этого рассмотрим шестигранник, вписанный в ЕДИНИЧНУЮ окружность.


Периметр шестигранника равен 6. А периметр (длина) окружности = 2\(\pi\) = 6.283...


Поделив сторону шестигранника пополам, на окружности мы найдём точку, которая станет вершиной 12-ти-гранника.


Используя теорему Пифагора посчитаем периметр 12-ти граника.


Периметр 12-ти граника: \(12\sqrt{2-\sqrt{2+1}}\)=6.211...


Снова делим сторону пополам и по теореме Пифагора получаем периметр 24-ёх граника.


Периметр 24-ёх граника: \(24\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}\)=6.265...


Далее поступаем аналогично:


Периметр 48-ми граника: \(48\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}\)=6.279...


Ну и так далее...


Посмотрите на картинку.
Она должна прояснить детали проделанных процедур.

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля

Озадачим компьютер.
Пусть железяка считает.
Для этого нам понадобится итерационная формула,
которая будет считать периметр \(3\times 2^n\)-граника.


\(S_n=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}\)


\(S_{n+1}=\sqrt{2+S_n}\), \(S_o=1\)


\(\pi_n=3\times 2^n\sqrt{2-S_n}\)
========================================================================






Убедитесь в том, что формулы работают. Для этого запустите Блокнот (стандартная программа Windows), скопируйте в Блокнот текст:


<SCRIPT>
var str="3,1415926535897932384626433832795<TABLE>"


for(i=0,s=1,j=1;i<13;i++){
   str+="<TR><TH>"+(6*j)+"</TH><TD>"+(Math.sqrt(2-s)*3*j)+"</TD></TR>"
   s=Math.sqrt(2+s);
   j<<=1; // j= j*2
}


document.write(str+"</TABLE>")
</SCRIPT>


Сохраните этот текст в файле pi.html.
Найдите этот файл в Проводнике и кликнете мышкой в него дважды.
Запустится браузер, а в нём будет текст:


3,1415926535897932384626433832795
6   3
12   3.1058285412302497
24   3.132628613281237
48   3.139350203046872
96   3.14103195089053
192   3.1414524722853443
384   3.141557607911622
768   3.141583892148936
1536   3.1415904632367617
3072   3.1415921060430483
6144   3.1415925165881546
12288   3.1415926186407894
24576   3.1415926453212157
Последняя итерация даёт ошибку 2.632 10-9

----------------------------------------------------




ВЫВОД: Пи = 3.14... потому, что a²+b²=c², а последнее: потому, что пространство изотропно и в нём нет кривизны.

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля

Для вписанного в окружность многогранника:


\(\breve{\pi}_{n+1}=\frac{\sqrt{2}\breve{\pi}_n}{\sqrt{1+\sqrt{1-(\breve{\pi}_n/3/2^n)^2}}}\)
\(\breve{\pi}_o=3\)


Аналогичную формулу (используя Теорему Пифагора) можно получить для описывающего единичную окружность многогранника:


\(\hat{\pi}_{n+1}=\frac{2\hat{\pi}_n}{\sqrt{1+\sqrt{1+(\hat{\pi}_n/3/2^n)^2}}}\)
\(\hat{\pi}_o=2\sqrt{3}\approx 3.4641\)


Реальное \(\pi\) находится где-то между \(\breve{\pi}\) и \(\hat{\pi}\).


Асимптотически \(\pi\) вдвое ближе к вписанному. Т.е.:
\(\pi\approx\frac{2\breve{\pi}_n}{3}+\frac{\hat{\pi}_n}{3}\)
Эта формула позволяет увеличить точность вычисления (по вписанному многограннику) в 50 раз (примерно).
Начальные условия для этой формулы:
\(\pi_o=2\frac{3}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 3.1547\)
Весьма не плохо.

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля

Чёта СУМЛЕВАЮСЬ я в своих формулах.
(Давно их получил. Будем проверять.)


Для вписанного:
\(\pi_n=3\times 2^n\sqrt{2-S_n}\)


Следовательно:
\(S_n=2-(\pi_n/3/2^n)^2\)
===========================


\(S_{n+1}=\sqrt{2+S_n}\), \(S_o=1\)


Следовательно:
\(2-(\pi_{n+1}/3/2^{n+1})^2=\sqrt{4-(\pi_n/3/2^n)^2}\), \(\pi_o=3\)


\(\pi_{n+1}=3\times 2^{n+1}\sqrt{2-\sqrt{4-(\pi_n/3/2^n)^2}}\), \(\pi_o=3\)


Это  - должно быть правильная формула.
(Проверим...)


Для 12-ти ганника:
\(\pi_1=6\sqrt{2-\sqrt{2+1}}=6\sqrt{2-\sqrt{3}}=\)3.106
\(\pi_2=12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\)3.1326
\(\pi_3=24\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}=\)3.13935
\(\pi_{10}=3\times 1024\sqrt{2-\sqrt{2+..+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}=\)3.1415925
(Откуда я взял те формулы для Пи? - ЗАГАДКА!)


Оффлайн Николай Григорьевич Зуб

  • Administrator
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 7 961
  • Репутация: +20/-0
  • Пол: Мужской
    • Просмотр профиля
Если "пи" принять за единцу, то сколько  корней можно будет из неё извлечь !?
Если "пи" принять за единицу, то это уже не десятичная система счисления...

Оффлайн Slava Parkov

  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1 020
  • Репутация: +0/-0
  • Пол: Мужской
    • Просмотр профиля
Если "пи" принять за единицу, то это уже не десятичная система счисления...
Независимо от системы счисления, пи не может быть единицей, так как не удовлетворяет определению единицы (у нуля и единицы есть определения):
Единица - это двусторонний нейтральный элемент по отношению к умножению (это из теории колец).
То есть для любого \( u \) должно выполняться:
  • \( u*1=u \)
  • \( 1*u=u \)
При этом умножение, это не обязательно умножение, которые мы имеем в виду для нормальных чисел, а то что удовлетворяет аксиомам умножения.


Оффлайн sam gorelik

  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 2 259
  • Репутация: +0/-0
  • Пол: Мужской
  • samgor
    • Просмотр профиля
Независимо от системы счисления, пи не может быть единицей, так как не удовлетворяет определению единицы (у нуля и единицы есть определения):
Единица - это двусторонний нейтральный элемент по отношению к умножению (это из теории колец).
То есть для любого \( u \) должно выполняться:
  • \( u*1=u \)
  • \( 1*u=u \)
При этом умножение, это не обязательно умножение, которые мы имеем в виду для нормальных чисел, а то что удовлетворяет аксиомам умножения.


Можно построить любую алгебру, но будет ли это иметь какой-то физически смысл, зависит от рассматриваемой задачи.
Пи - это число отражающее отношение прямолинейной и криволинейной систем координат (в данном случае криволинейной по окружности). При вычислениях в такой системе координат можно, наверное,  проводить оценки в величинах кратных Пи с помощью обычной алгебры.

Оффлайн Николай Григорьевич Зуб

  • Administrator
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 7 961
  • Репутация: +20/-0
  • Пол: Мужской
    • Просмотр профиля
Независимо от системы счисления, пи не может быть единицей, так как не удовлетворяет определению единицы (у нуля и единицы есть определения):
Единица - это двусторонний нейтральный элемент по отношению к умножению (это из теории колец).
То есть для любого \( u \) должно выполняться:
  • \( u*1=u \)
  • \( 1*u=u \)
При этом умножение, это не обязательно умножение, которые мы имеем в виду для нормальных чисел, а то что удовлетворяет аксиомам умножения.
Какой вопрос, такой ответ.
Но я не понял, почему нельзя принять пи за единицу.
Не понятно зачем это надо.
Но можно все уравнения поделить на пи. В этом случае все пи превратятся в единички.

Оффлайн sam gorelik

  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 2 259
  • Репутация: +0/-0
  • Пол: Мужской
  • samgor
    • Просмотр профиля
Какой вопрос, такой ответ.
Но я не понял, почему нельзя принять пи за единицу.
Не понятно зачем это надо.
Но можно все уравнения поделить на пи. В этом случае все пи превратятся в единички.
Не получится. Определение 1 и 0 задает линейную алгебру (аддитивность и коммутативность). Даже при делении на Пи (а оно еще и трансцендентно), базовые условия не изменятся. Произойдет только изменения масштаба.

Оффлайн Николай Григорьевич Зуб

  • Administrator
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 7 961
  • Репутация: +20/-0
  • Пол: Мужской
    • Просмотр профиля
Не получится. Определение 1 и 0 задает линейную алгебру (аддитивность и коммутативность). Даже при делении на Пи (а оно еще и трансцендентно), базовые условия не изменятся. Произойдет только изменения масштаба.
Не понял почему.
Пи - это число. Число, как и единица.
Если мы принимаем Пи за единицу, то пи + пи будет 2 пи, т е 2 единицы.
Но зачем это, я так и не понял.

Оффлайн Николай Григорьевич Зуб

  • Administrator
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 7 961
  • Репутация: +20/-0
  • Пол: Мужской
    • Просмотр профиля
Если бы число ПИ можно было выразить путём бесконечного сложения бесконечно малых величин!
Мы бы их сумели сложить, поверьте, Николай! ;)
Это число не складывается не из суммы квадратов,  кубов и даже более старших размерностей к сожелению... :(
"пи" можно принять за единицу, это уже будет не десятичная система счисления... Но зачем это надо, не понятно.

Оффлайн Slava Parkov

  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1 020
  • Репутация: +0/-0
  • Пол: Мужской
    • Просмотр профиля
Если бы число ПИ можно было выразить путём бесконечного сложения бесконечно малых величин!
Мы бы их сумели сложить, поверьте, Николай! ;)


\(\pi\)
« Последнее редактирование: Августа 28, 2016, 10:49 от Masterov »

Оффлайн Николай Григорьевич Зуб

  • Administrator
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 7 961
  • Репутация: +20/-0
  • Пол: Мужской
    • Просмотр профиля
Пи - это не число, а отношение длины окружности к радиусу. При этом безразлично в каких единицах измеряются эти величины.
Пи — иррациональное число.

Оффлайн sam gorelik

  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 2 259
  • Репутация: +0/-0
  • Пол: Мужской
  • samgor
    • Просмотр профиля
Еще раз.
Пи является числом (константой) только для Евклидового (плоского) пространства.
Для остальных пространств Пи является переменной величиной, зависящей от соотношения радиуса кривизны и радиуса окружности.
Для Меркурия отличие Пи от константы уже заметно для многолетних астрономических наблюдений и выражается во вращении перигелия.
На Земле отношение длины экватора(длина окружности) к половине длины меридиана (радиус) примерно 2. Это иллюстрирует Ваше высказывание про число Пи на  поверхности шара.И это число не обязательно иррациональное. Иррациальность "спряталась" в "кривизне" поверхности.