Автор Тема: Глава 1. Метод разрывной нелинейности  (Прочитано 425 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля

Предисловие
Принято считать, что нелинейные модели исследовать много труднее, чем линейные, а в интегральной записи - под силу лишь профессиональным математикам. Это – ошибочное мнение, и моя монография призвана развеять подобные заблуждения. (Вспомните: что такое «Функция Грина» - это самое сложное, что встретится в тексте.)


Монография посвящена аналитико-цифровым методам анализа существенно нелинейных моделей динамических систем, непрерывно распределённых в пространстве и времени. Предлагается три аналитических метода (в трёх главах), позволяющие существенно облегчить численный анализ нелинейных моделей и повысить точность вычислений. В некоторых случаях удаётся получить точное аналитическое решение.


В первой главе рассматривается модель динамической системы, нелинейность в которой аппроксимируется ступенькой (разрыв первого рода).

В силу специфики нелинейности, этот метод позволяет один раз проинтегрировать аналитически, понизив размерность вычисляемых интегралов заменой интегрирования по пространству-времени интегрированием по границе областей в пространстве и времени.
КОРОЧЕ: Если вас устраивает аппроксимация нелинейности ступенькой (или – многими ступеньками), то вам - сюда!


Метод, описанный во второй главе, позволяет облегчить численный анализ моделей, ядро в которых вырожденное. Т.е., если ядро можно аппроксимировать конечной суммой произведений функций одной переменной:
\(G(x,y)=\sum\limits_{i=0}^{N}X_i(x)Y_i(y)\)

и если вам не понаслышке знакомы сочетание слов «Нейронные сети» и «Модель Хопфилда» - читайте вторую главу.


Третий метод позволяет подобрать аппроксимацию нелинейности в классе параметрических функций:
\(\begin{equation*}
\begin{cases}
   F(U(x))&=f(x)\\
   U(x)&=g(x)
 \end{cases}
\end{equation*}\)

Метод гарантировано даёт аналитическое решение. (В некоторых случаях все три, предложенные мной, метода позволяет найти точные решения стационарных и стационарно бегущих решений.) Если у вас какая-то 'хитрая' нелинейность, если её нельзя аппроксимировать ступеньками, если нелинейность с гистерезисом – читайте третью главу.


ПОЯСНЮ: Даже тогда, когда заведомо известно: Решение уравнения существует!, записать его в виде конечного ряда функций, свойства которых известны, далеко не всегда удаётся. (Функций, свойства которых мы понимаем, нам не хватает.) Метод, предложенный мной, позволяет подобрать такую аппроксимацию нелинейности, для которой решение записывается в виде конечного ряда известных функций.
Кажется нет такой модели, которую нельзя было бы исследовать моим методом. Его пробивная сила просто невероятна. Её можно сравнить с пробивной силой кумулятивного снаряда. (А так и буду называть этот метод - Кумулятивным!)


Я научу вас исследовать модели нелинейных динамических систем в непрерывном пространстве и времени. Написанные вами программы будут творить настоящие чудеса.  И для понимания текста вам не требуется быть профессиональным математиком. Достаточно хорошей математической подготовки, которую дают университеты по специальности «физика».


Введение необходимо прочитать для понимания текста любой из трёх глав, поскольку в нём даются определения понятиям, которые будут использоваться на всём протяжении монографии. А так же во Введении я вывожу типичные уравнения, являющиеся математическими записями моделей нелинейных динамических систем, препарируя которые моими методами, я буду демонстрировать методы в работе.

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #1 : Января 28, 2016, 10:23 »

Введение
Предлагая новый инструмент для препарации математических моделей, нельзя не продемонстрировать его в работе, что автор и намерен сделать. Однако, в данном случае, демонстрация осложняется тем обстоятельством, что модель, на которой этот метод работает, должна быть записана в интегральной форме записи. К сожалению, высшие учебные заведения традиционно делают упор на обучение методам анализа дифференциальных уравнений. Поэтому, нередко у начинающего ученого складывается ошибочное мнение, что интегральные уравнения — это сложно. Не желая по этой причине терять возможных читателей, коим этот инструмент мог бы оказаться полезным, на простейшем примере триггера мы построим его модель в интегральной форме. Обобщая эту модель на пространство и время, мы построим модель бистабильной среды. Эта модель хороша тем, что охватывает широкий спектр явлений: от простейших электронных устройств до нейронных сред и квантовой оптики. В дальнейшем эту модель бистабильной среды мы будем препарировать различными методами. Метод, изложенный в этой статье, первый из трех, которые автор намерен предложить читателю.


На протяжении всей монографии я буду использовать три понятия: «динамическая система» , «модель» и «уравнение», разделяя их. «Динамическая система» – физический объект, «модель» - наше представление об его устройстве, а «уравнение» - один из вариантов записи модели. Т.е., модель может быть записана в виде уравнения множеством разных способов на языке, который мы называем - «математика». При этом все эти уравнения будут демонстрировать качественно подобные свойства, различаясь лишь в количественном измерении.




Триггер



Рассмотрим нелинейное уравнение вида:
\(U=F(U)\)                       (1)
Здесь  \(F(U)\) —  \(S\)- образная функция, вид которой качественно изображен на Fig. 1.
Подобная нелинейность широко распространена, например, в электронных усилителях, а потому ее часто называют: нелинейность типа усиление с насыщением1.  Поэтому, уравнение (1) может рассматриваться как модель нелинейного усилителя постоянного тока с положительной обратной связью, вид которого схематично изображен на Fig. 2.. При этом, знак равенства в нем соответствует обратной связи этого усилителя.


Не трудно показать, что, если усилитель имеет коэффициент усиления больше единицы, то уравнение (1) имеет три решения: \(U=U_+\), \(U=U_-\) и  \(U=U_p, t\ge 0\).
Если учесть инерционность электронных элементов (см. Fig. 3), то в первом приближении модель инерционного, нелинейного, с положительной обратной связью усилителя постоянного тока (при \(RC=1\)) может быть представлена в виде системы уравнений:


\(\begin{equation*}
\begin{cases}
   dU/dt+U=V\\
   V=F(U)
 \end{cases}
\end{equation*}\)

              \(U(0)=U_o,\ t\ge 0\)                  

(2)
\(U_o\) — начальное значение (при  \(t=0\)).


Делая очевидное исключение, получим более привычную запись в виде простейшего нелинейного дифференциального уравнения в обыкновенный производных:


\(dU/dt+U=F(U)\)              \(U(0)=U_o,\ t\ge 0\)                   (3)


Очевидно, что такая модель имеет те же три стационарные точки: \(U=U_+\), \(U=U_-\) и  \(U=U_p, t\ge 0\).


1На практике любой усилитель с коэффициентом усиления большем единицы (иначе — какой же он усилитель) имеет ограничение на амплитуду выходного сигнала, т.е. — насыщение.


Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #2 : Января 28, 2016, 10:24 »

Линеаризуя в малой окрестности стационарной точки, можно получить условие ее устойчивости:


\(dF(U)/dU<1\mid_{U=\tilde{U}=const}\)                 (4)


где \(\tilde U\) — одно из трёх стационарных значений, устойчивость которого определяется выражением (4).


Из рисунка видно, что значения \(U=U_+\) и \(U=U_-\) — устойчивы (удовлетворяет условию (4)), а \(U=U_p\) — неустойчиво. Поэтому, модель в записи (2) (и (3)) можно считать стилизованной моделью триггера, а величины \(U_+\) и \(U_-\) определяют пару устойчивых состояний триггера (триггерное состояние) на выходе его нелинейного элемента.






Интегральная запись уравнения триггера


Применим метод Функции Грина к первому уравнению системы (2). Получим:
\(\begin{equation*}
\begin{cases}
   U=\int_o^te^{-(t-\tau)}V(\tau)d\tau+U_oe^{-t}\\
   V=F(U)
 \end{cases}
\end{equation*}\)

              \(t\ge 0\) (см. Fig. 4)                 

(5)
Делая очевидные исключения из системы (5), можно получить две различные интегральные записи:


\(V=F\left(\int_o^te^{-(t-\tau)}V(\tau)d\tau+U_oe^{-t}\right)\)              \(t\ge 0\) (см. Fig. 4)                  (6)
и:
\(U=\int_o^te^{-(t-\tau)}F\left(U(\tau)\right)d\tau+U_oe^{-t}\)              \(t\ge 0\) (см. Fig. 4)                  (7)
Все перечисленные выше записи (2), (3), (5), (6) и (7) эквивалентны друг другу и все они являются триггерами.


Мы рассматривали модель динамической системы (типа ТРИГГЕР), в обратной связи которой стоит RC-цепочка. Но эта модель легко может быть обобщена на случай, когда в обратной связи стоит произвольный фильтр с переходной характеристикой \(h(t)\).


Обобщаем


Обобщая (7) на произвольный характер временных связей, однородную во времени модель можно записать так:


\(U=\int_o^th(t-\tau)F\left(U(\tau)\right)d\tau+U_oh(t)\)              \(t\ge 0\) (см. Fig. 4)                  (8)


Ну а если обратная связь не стабильна и во времени её параметры меняются, то должны записывать переходную характеристику так:  \(h(t,t)\). Обобщённая на этот случай интегральная запись примет вид:


\(U=\int_o^th(t,\tau)F\left(U(\tau)\right)d\tau+U_oh(t,t)\)              \(t\ge 0\)                   (9)
Это уравнение имеет название: нелинейное интегральное уравнение Вольтерры – Гаммерштейна II рода. Свойства его еще более разнообразные.


Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #3 : Января 28, 2016, 10:25 »

Обобщаем дальше...


Бистабильная (триггерная) среда
Если функции, входящие в уравнения (2), (3), (5), (6) и (7), зависят еще и от пространственной (в общем случае — векторной) переменной  \(x\),  определены и интегрируемы в некоторой области   (т.е. достаточно хорошие, чтоб не создавать нам проблем, не относящихся к рассматриваемой теме), то эти модели будут описывать пространство (среду, поле и т.п.) триггеров, каждая точка которого является триггером. Если, к тому же, каждый такой триггер оказывает влияние на остальные триггеры среды (и сам испытывает на себе их влияние), то такая модель (модель из взаимосвязанных триггеров, или — нейронная среда) может быть записана в виде:
\(U(x,t)=\int_o^te^{-(t-\tau)}\int_QG(x,y)F\left(y,U(y,\tau)\right)dyd\tau+U_o(x)e^{-t}\)              \(x\in Q,\ t\ge 0\)                  (10)
Здесь \(G(x,y)\) — весовая функция влияния триггера с координатой \(y\)  на триггер с координатой  \(x\). Т.е., сигнал на выходе нелинейного элемента (не выходе триггера, координата которого \(y\)), помноженный на весовой коэффициент  \(G(x,y)\), поступает на суммирующий вход нелинейного элемента триггера, координата которого \(x\).


Согласно выражению (3), та же модель может быть записана в виде интегро-дифференциального уравнения:
\(\partial U/\partial t+U(x,t)=\int_QG(x,y)F\left(y,U(y,t)\right)dy\)              \(U(x,0)=U_o(x),\ x\in Q,\ t\ge 0\)                  (11)
Модель, подобную (10) и (11), будем называть бистабильной распределенной средой.
Эта пара уравнений станет объектом для препарации методом Вырожденных ядер.
Препарируя эти уравнения я покажу метод в работе.
Так мы познакомились с различными формами записи одной и той же модели.


--------------------------


Пороговая граница и пороговое тождество
Дадим определение ещё паре понятий, которыми будем пользоваться на протяжении всей монографии.
Будем называть пороговой границу (обозначим ее как  \(dD\)) между областями (обозначим их как \(D_+\) и \(D_-\)), на которой выполняется тождество:
\(U(x,t)=U_p(x,t)\)              \(x\in dD,\ t\ge 0\)   (см. Fig. 1)                  (12)
Совокупность этих областей и границы между ними тождественны \(Q\) (области , на которой определено уравнение).
Тождество (12) будет многократно использоваться в дальнейшем, а потому дадим ему свое название — пороговое тождество.
Граница \(dD\) имеет смысл границы между областями, внутри которых триггерное значение находится в зоне притяжения одного из устойчивых стационарных состояний триггера (\(U_+\) или \(U_-\)). Т.е.:




\(\begin{equation*}
\begin{cases}
   U(x)>U_p &x\in D_+\\
   U(x)=U_p &x\in dD\\
   U(x)<U_p &x\in D_-
 \end{cases}
\end{equation*}\)

              \(t\ge 0\) (см. Fig. 1)                 

(13)


Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #4 : Января 28, 2016, 10:39 »

Важные частные случаи и их обобщения


Важным частным случаем приведенных выше моделей является модель однородной бистабильной среды в неограниченном пространстве:
\(U(x,t)=\int_o^te^{-(t-\tau)}\int_QG(x-y)F\left(U(y,\tau)\right)dyd\tau+U_o(x)e^{-t}\)              \(x\in Q,\ t\ge 0\)                  (14a)


\(\partial U/\partial t+U(x,t)=\int_QG(x-y)F\left(U(y,t)\right)dy\)              \(U(x,0)=U_o(x),\ x\in Q,\ t\ge 0\)                  (14b)
Далее, на протяжении большей части монографии, эта пара уравнений будет объектом, препарируя который я буду демонстрировать  в работе методы анализа нелинейных динамических систем.


ВАЖНО: Эти две записи эквивалентны друг другу: (первая) интегральная и (вторая) интегро-дифференциальная. И всё же между ними есть принципиальная разница: Запись (14b) состоит из двух уравнений. (Начальные условия вынесены за пределы основного уравнения. Начальные условия - отдельное уравнение.) Поэтому интегро-дифференциальное уравнение (14b) генерит целое пространство удовлетворяющех ему функций, из которых следует выбрать то, которое удовлетворит начальным условиям.
В то же время модель (14а) упаковано в одно (интегральное) уравнение, способное сгенерить только одно, единственное решение.


Некоторые очевидные свойства уравнения (14)
Если функция  четная, то среда изотропна. Предполагая интегрируемость этой функции на всей области определения, без потери общности она может быть отнормирована так, что:
\(\int_QG(y)dy=1\)                                (15)
Тогда (и это не трудно показать) уравнения (14) имеет три однородных стационарных решения  \(U=U_+\), \(U=U_-\) и  \(U=U_p\). Этот факт будет в дальнейшем использован.




Нейроподобная среда
Обобщая уравнение (14а) на произвольные пространственно временные связи мы получим модель нейроподобной среды:
\(U(x,t)=\int_o^th(t,\tau)\int_QG(x,y)F\left(y,\tau,U(y,\tau)\right)dyd\tau+h(t,0)\int_QG(x,y)U_o(y)dy\) \(x\in Q,\ t\ge 0\) (16)
--------------------




Предварительные замечания об общих свойствах моделей
бистабильных распределенных динамических систем


1.    По своей сути модели бистабильных сред являются обобщением простейших генераторов на многомерное пространство-время, причем функция   в таком представлении — есть отклик на  - функцию обратной связи этого генератора. Поэтому свойства бистабильных сред, во многих случаях, также являются своего рода обобщением свойств генераторов. К примеру, если обычный генератор генерирует импульсы, то многомерные генераторы могут генерировать шары, торы, узлоподобные и другие фигуры, которые в Гамильтоновых системах проявляют разнообразные динамические свойства, такие как масса, энергия и импульс, а также корпускулярно-волновые свойства.


2.   Динамические процессы, происходящие в бистабильных средах, представляют собой движение пороговых границ, отражающих взаимодействие и динамику областей с различными триггерными состояниями. Подобные процессы называются автоволновыми, а в случае стационарных состояний — автоструктурами.


3.   Нетрудно показать (простой заменой \(U=-U\)), что в силу качественной симметрии  \(S\)-образной нелинейности (относительно пороговой точки  \(F(U_p)=U_p\)), любому найденному решению имеется качественно подобное решение — негатив.
Ниже будет приведен метод анализа существенно нелинейных моделей, и возможности этого метода будут продемонстрированы на анализе свойств моделей бистабильных распределенных динамических сред  К таким моделям относятся: коннекционистские модели нейронных сетей; модели некоторых химических реакций; среды нелинейной когерентной оптики и т.д.

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #5 : Января 28, 2016, 10:43 »

I. Метод разрывной нелинейности
I.1   Многомерная модель бистабильной среды




Разрывом первого рода называют конечный скачок функции (см. Fig. 5). Нелинейность такого рода является частным случаем \(S\) - образной нелинейности (см. Fig. 1).
Нелинейность, изображённую на Fig. 5 аналитически можно записать так:


\(F(U)=\begin{equation*}
\begin{cases}
   1 &U>U_p\\
   U_p &U=U_p\\
   -1 &U<U_p
 \end{cases}
\end{equation*}\)

            (см. Fig. 5)                 

(19)


Свойства этой функции таковы, что из синусоиды, к примеру, она делает меандр, скважность которого зависит от величины порога. Действие ее на полутоновое, плоское изображение дает контрастное, скажем — черно-белое, изображение. Для гладких функций, определенных в трех и более мерном пространстве, результат действия вышеуказанной нелинейности аналогичен — пространство, на котором функция определена, разбивается на области со значениями 1 и -1  (см. ниже Fig. 25 и Fig. 26). Выше мы эти области обозначим как \(U=U_+\) и \(U=U_-\). Граница между этими областями — \(U=U_p\)  (меры нуль), и есть ни что иное как пороговая граница, определенная выше, т.е. на ней выполняется пороговое тождество (12).
Пусть теперь нелинейность (19) входит в интегральное уравнение Гаммерштейна вида:
\(U(x)=\int_QG(x,y)F\left(y,U(y)\right)dy\)              \(x\in Q\)                  (21)
Которое описывает стационарные решения уравнения (19). А учитывая, что нелинейность \(F(U)\) может принимать лишь два значения (1 или -1), легко можно проинтегрировать правую часть уравнения (20):
\(U(x)=\int_{D_+}G(x,y)dy-\int_{D_-}G(x,y)dy\)              \(x\in Q\)                  (22)
Ну вот, мы и нашли общее стационарное решение уравнения (21). Нам осталось только определиться с границей между областями  \(D_+\) и \(D_-\), с пороговой границей \(dD\).
Функция \(G(x,y)\) предполагается интегрируемой на всей области определения.
Поскольку под интегралом в правой части выражения (22) стоит известная (не зависящая от \(U\)) функция , то к этому выражению можно применить, опять же формально, метод Гаусса-Остроградского, и заменить интегрирование по области на интегрирование по ее границе:
\(U(x)=2\int_{dD}W(x,y)dy\)              \(x\in Q\)                  (23)
что снижает размерность интеграла и, следовательно, решаемой задачи на единицу (аналитически интеграл удаётся посчитать). Именно это позволяет решать задачу в непрерывном пространстве, тратя на это минимум ресурсов компьютера(!).


Здесь векторная функция \(W(x,y)\) такая, что:
\(div\ W(x,y)=2G(x,y)\)              \(x\in Q, y\in dD\)                  (24)

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #6 : Января 28, 2016, 10:44 »

Т.о., состояние среды полностью описывается пороговой границей \(dD\), которая пока неизвестна, но может быть найдена из условия, что значение функции на ней равно порогу (см. пороговое тождество (12)). Т.о., состояние среды, динамика процессов в ней, полностью описывается пороговой границей \(dD(t)\).
\(U(x,t)=\int_{dD(t)}W(x,y)dy\)              \(x\in Q\)                  (25)
Это выражение действительно для среды (описываемой уравнением (15) или (16), с нелинейностью типа (19)), в которой влияние изменения положения пороговой границы на состояние среды на всей области \(Q\) передаётся мгновенно, временные связи определяются инерционностью триггеров, что не всегда корректно.
В конце этой главы я рассмотрю обобщение этой модели на релятивистское пространство. В этой (релятивистской) модели влияние изменения пороговой границы передаётся со скоростью света. Эта модель может претендовать на роль модели пространственно-временного релятивистского генератора материи, которая объединит в себе все физические законы.
\(dD\) неизвестна, но может быть найдена из условия, что значение функции на ней равно порогу (см. пороговое тождество (12)). Таким образом, решение нелинейного интегрального уравнения (21) формально найдено и имеет вид системы уравнений (22)(12), что и требовалось.




Обобщаем
Более общим вариантом разрывной (первого рода) нелинейности, для которой можно проделать подобные рассуждения, является функция вида:
 
\(F(U)=\begin{equation*}
\begin{cases}
   A &U>U_p\\
   U_p &U=U_p\\
   B &U<U_p
 \end{cases}
\end{equation*}\)
                             
(26)
при этом параметры \(U_p\), \(A\) и \(B\)  могут быть функциями переменных \(x\) и \(t\). Более того, параметры \(A\) и \(B\) могут линейно зависеть от \(U\). Но эти случаи (в силу их громоздкости, а потому - малой пригодности в качестве наглядного пособия) рассматриваться тут не будут.


Этот метод применим для моделей, нелинейность в которых состоит из множества разрывов первого рода. Такая нелинейность может быть представлена в виде суммы нелинейностей вида (26), поэтому к ней также применимы вышеприведенные рассуждения. При этом особый интерес представляют частный случай — многоступенчатая нелинейность, которой удобно аппроксимировать любую гладкую нелинейность, и, в этом случае, пороговыми границами будут являться линии уровня.
Далее рассмотрим один важный частный случай — одномерный вариант уравнения (21)(19).

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #7 : Января 28, 2016, 10:45 »

I.2   Одномерная модель бистабильной среды
I.2.1   Теория
Опять же — для простоты, возьмем нелинейность вида (19), хотя в более общем случае (26) нижеследующие рассуждения также могут быть проделаны. Итак, одномерная модель (21)(19) имеет вид:
\(U(x)=\int_a^bG(x,y)F\left(y,U(y)\right)dy\)              \(a\le x\le b\)                  (27)
Обозначим \(x_i\) точки, в которых выполняется пороговое тождество (12). Тогда пороговое тождество примет вид:
\(U(x_i)=U_p(x_i)\)              \(a\le x_i\le x_{i+1}\le b,\ i=0..N\)                  (28)
т.е. \(x_i\) — координаты точек, в которых функция \(U(x)\) пересекает пороговое значение, причем \(x_o=a\) и \(x_N=b\). Другими словами, эти точки являются координатами пороговых границ. Поэтому удобно расписать интеграл в правой части уравнения (27)(19) на сумму интегралов по этим областям:
\(U(x)=\pm\sum\limits_{i=0}^{N}(-1)^i\int\limits_{х_i}^{х_{i+1}}G(x,y)dy\)
              \(a\le x_i\le x_{i+1}\le b,\ i=0..N\)                 

(29)
Знак "\(\pm\)" означает то обстоятельство, что заранее неизвестно, какое из двух значений ( \(1\) или \(-1\)) принимает функция \(U(x)\) на левой границе (в точке с координатой  \(x=a\)). Знак "\(+\)" выбирается в том случае, если \(U(a)>U_p(a)\) (т.е. — \(F(a,U(a))=1\)). Знак "\(-\)" выбирается в противном случае.


Поскольку функция \(G(x,y)\) известна, то предполагаем, что известна и ее первообразная по переменной \(y\)  — функция \(W(x,y)\). Тогда, согласно формуле Ньютона-Лейбница, выражение (29) примет вид:
\(U(x)=\pm\sum\limits_{i=0}^{N}(-1)^i\left(W(x,x_i)-W(x,x_{i+1})\right)\)
              \(a\le x_i\le x_{i+1}\le b,\ i=0..N\)                 

(30)
Вы не поверите, но мы нашли общее решение уравнения (27)(19)!
Скажу больше: мы нашли общее решение (одномерный в пространстве случай) уравнения (16)(19). Просто нужно учесть, что \(x_i=x_i(t)\) и \(N=N(t)\) (т.е. - являются функциями времени). И нам осталось только найти эти функции времени.


Подставляя выражение (30) в пороговое тождество (28), получим систему уравнений, корнями которой и являются искомые значения:
\(U_p(x_j)=\pm\sum\limits_{i=0}^{N}(-1)^i\left(W(x_j,x_i)-W(x_j,x_{i+1})\right)\)
              \(j=0..N\)                 

(31)
Разрешая эту систему уравнений (численно, если аналитически не получается), мы найдём нужные нам \(x_i=x_i(t)\) и \(N=N(t)\).


ЗАМЕЧАНИЕ: Впервые компьютер стал вычислят корни этой системы уравнений в 1985 году. Это было одной из тем моей дипломной работы. (Кажется это было вчера.) Получены результаты, опубликованные в работе [16]. (К сожалению, авторы, по непонятным мне причинам, не посчитали нужным указать автора используемой ими методики.)

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #8 : Января 28, 2016, 10:50 »

I.2.2   Примеры (Одномерная модель бистабильной, изотропной среды в дискретном времени и непрерывном пространстве)
Рассмотрим модель изотропной среды в виде нелинейного разностного интегрального уравнения типа свертки:
\(U_{n+1}(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(x-y)F(y,U_n(y))dy\)
              \(-\infty<x<\infty\)                 

(32)
здесь нелинейность, функция \(F(y,U)\), имеет вид (19), а чётная функция \(G(x)\), заданная качественно (см. Fig. 6),
и без потери общности может отнормирована:
\(\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(y)dy=1\)                                (33)
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что уравнение (32)(19) имеет три однородных стационарных решения:
\(U(x)\equiv 1\), \(U(x)\equiv -1\), \(U(x)\equiv U_p\)                               
(34)
Причём: первые два - устойчивые, а последнее - неустойчиво.


Обозначим первообразную:
\(W(x)=2\int\limits_0^xG(y)dy\)
              \(-\infty<x<\infty\) (см. Fig. 7) (см. выражение (23)).                 

(35)


I.2.2.1   Бегущий фронт (дискретное время)
Назовем решение уравнения (32)(19) стационарно бегущим, если оно удовлетворяет уравнению:
\(U_{n+1}(x-\nu)=U_n(x)\)              \(-\infty<x<\infty\)                 (36)
После каждой итерации стационарно бегущее решение, не изменяя своей формы, смещается вдоль оси \(x\) на постоянную величину \(\nu\), которая называется дискретной скоростью.
Ищем стационарное бегущее решение уравнения (32)(19), которое имеет одну точку пересечения порогового значения (точку с координатой \(x_1\)).
Возможны два варианта функции \(F(U(x))\) (как функции параметра \(x\)), (см. Fig. 8 и Fig. 9) и выражение (37)):
ЗАМЕЧАНИЕ: Далее я буду объединять графики, изображённые на Fig. 10-11, отображая их на одной картинке. Т.е., первообразную \(W(x)\), бегущий фронт \(U(x)=W(x-x_n)\) и зависимость скорости этого фронта от величины порога \(U_p=W(\nu)\) будут представлены на одной картинке.


\(F(U_n(x))=\pm\begin{equation*}
\begin{cases}
   1 &x>x_n\\
   U_p &x=x_n\\
   -1 &x<x_n
 \end{cases}
\end{equation*}\)
            \(x_n<\nu\cdot n\)
            \(-\infty<x<\infty\)
            (см. Fig. 8 или Fig. 9)                 



(37)
После подстановки этого выражения в уравнение (32)(19), с учетом (36) и после формального ин-тегрирования, с учетом (35), получим искомое решение:
\(U_n(x)=\pm W(x-x_n)\)      \(x_n<\nu\cdot n\), \(-\infty<x<\infty\), (см. Fig. 10)    (38)
Это и есть искомое (стационарно бегущее) решение уравнения (32)(19).
Выражение (38) есть частный случай выражения (31), и вид его качественно изображен на Fig. 10 (показан лишь случай “+”).

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #9 : Января 28, 2016, 10:51 »

Если учесть, что в точке с координатой \(x=x_{n+1}=x_n+\nu=\nu\cdot n\) для \(U_n(x)\) выполняется пороговое тождество (т.е. \(U_n(x_{n+1})=U_p\)), то после подстановки \(x=x_n+\nu\) в выражение (38) получим:
\(U_p=\pm W(\nu)\)                     (см. Fig. 11)                      (39)
Мы получили то, ради чего выписывались все формулы. Мы получили связь физических свойств среды (\(U_p\)) со свойствами динамического процесса (скорость распространения волны в среде \(\nu\)) в этой среде. Это, собственно, то, что требует заказчик от учёного: Умение предсказывать динамику объекта по его свойствам.


Полезные замечания:
a)   Из этого выражения можно сделать вывод — если функция всюду знакопостоянна, то решение в виде бегущего фронта единственное (с точностью до произвольной фазы \(x_o\) и направления движения) и при \(U_p\to\pm 1\) скорость фронта по абсолютной величине растет, а в нуле меняет направление.
b)   Из симметрии уравнения (32)(19) следует, что если это уравнение при \(U_p=C\) имеет решение \(U(x)\equiv V(x)\) функцию   (назовем это решение условно позитив), то при \(U_p=-C\) это же уравнение имеет решение \(U(x)\equiv -V(x)\) (негатив, соответственно, См. Fig. 8 и Fig. 9). Поэтому, чтобы не загромождать текст, знак ‘\(\pm\)’ будем упускать, подразумевая, что каждому найденному решению имеется соответствующее решение-негатив.


---------------------------
Я обещал вам непрерывное время. Что ж, пора…


I.2.2.2   Бегущий фронт (непрерывное время)
Дя модели в непрерывном времени, которую для стационарно бегущих решений (в системе координат, связанной с бегущим фронтом) можно записать в виде нелинейного интегро-дифференциального уравнения вида:
\(-\nu\frac{dU}{dx}+U(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(x-y)F\left(U(y)\right)dy\)

              \(-\infty<x<\infty\)                 


(40)
Подставляя в это уравнение выражение (37) (подставим \(F(U(x))=sign(x)\)), получим искомое решение:
\(U(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(e^{(x-\nu-y)/\nu}-1/2\right)\left[sign(x-\nu-y)-sign(\nu)\right]G(y)dy\)
   \(-\infty<x<\infty\)   

(41)
(Тут знак ‘\(\pm\)’ я уже упустил.)
Громоздкость этого и других выражений, по сравнению с выражением (38), делает модель (40)(19) не самым удобным объектом для демонстрации, а потому здесь эта модель не рассматривается.
---------------------------

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #10 : Января 28, 2016, 10:53 »

I.2.2.3   Уединенный солитон. (Стационарные решения с двумя точками пересечения порога)
Пусть решение уравнения (32)(19) имеет две точки пересечения порогового значения с координатами   и  .
В аналитической записи это выглядит так:
\(F(U(x))=\begin{equation*}
\begin{cases}
   1 &x_1<x<x_2\\
   U_p &x=x_1, x_2\\
   -1 &x_1>x>x_2
 \end{cases}
\end{equation*}\)

            \(-\infty<x<\infty\)                   
               (см. Fig. 12)                 



(42)
После подстановки этого выражения в стационарное уравнение (32)(19) и формального интегрирования, получим искомое решение, еще один частный случай выражения (30):
\(U(x)=W(x-x_1)-W(x-x_2)-1\)      \(-\infty<x<\infty\), (см. Fig. 13)    (43)


Поскольку найденное решение \(U(x)\) (см. (43)) при \(x=x_1\) и \(x=x_2\) должно равняться пороговому значению, то, подставляя первое из этих значений в (43), получим частный случай системы (31):


\(U_p=W(\sigma)\)      \(\sigma>0\), (см. Fig. 14)    (44)
Где:
\(\sigma=x_2-x_1\)                                (45)


и имеет смысл ширины найденного решения на уровне порога.
Мы получили то, ради чего математикам платят деньги: мы получили связь физических свойств объекта (величина порога \(U_p\)) с параметром динамической структуры (ширины солитона \(\sigma\) на уровне порога), которая возникает в этом объекте. Это позволяет предсказывать динамику физических объектов.


Из выражения (44) можно сделать вывод: если функция всюду знакопостоянна, то подобное решение — единственное, и при увеличении порога — увеличивается в размерах. Далее будет показа-но, что это решение неустойчиво.


Подстановка второго значения (\(x=x_2\)) в (4) дает уравнение, тождественное (44). Это говорит о том, что любая функция, полученная путем смещения вдоль оси  , также является решением, что есть следствие пространственной изотропии системы.
Ширина найденного решения на уровне порога (как мы выяснили) зависит от величины порога, но его фаза, обозначим ее как:
\(\phi=(x_2+x_1)/2\)                                (46)
может быть произвольной.

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #11 : Января 28, 2016, 10:55 »

Устойчивость уединенного солитона


Пусть имеется стационарное решение уравнения (32)(19) вида (43), ширина которого (величина \(\sigma\)) определяется выражением (44). Проследим за тем, как изменится малая вариация ширины этого солитона \(\delta\sigma\) при одной итерации уравнения (32)(19). Если вариация по абсолютной величине будет нарастать, то солитон неустойчив. В противном случае — устойчив.
Подставим в уравнение (32)(19) выражение (43) с измененной шириной:
\(x_2'-x_1'=\sigma'=\sigma+\delta\sigma\)                                (47)
Здесь тильда (штрих) означает "новый", а двойной штрих - "ещё новее".
После подстановки получим функцию:
\(U'(x)=W(x-x'_1)-W(x-x'_2)-1\)      \(-\infty<x<\infty\)    (48)
Ширина этой функции на уровне порога (ширина после итерации):
\(x_2''-x_1''=\sigma''=\sigma+\delta\sigma'\)                                (49)
в общем случае отличается и от стационарной (на величину \(\delta\sigma'\)), и от исходной, то есть \(\delta\sigma\neq\delta\sigma'\). И если выполняется неравенство:
\(|\delta\sigma/\delta\sigma'|<1\)                                (50)
то решение устойчиво. В противном случае - неустойчиво.
Здесь \(x''_1\) и \(x''_2\) такие, что:
\(\begin{equation*}
\begin{cases}
   U(x''_1)=U_p\\
   U(x''_2)=U_p
 \end{cases}
\end{equation*}\)
                       
(51)
Используя (48) получим:
\(\begin{equation*}
\begin{cases}
   W(x''_1-x'_1)-W(x''_1-x'_2)-1=U_p\\
   W(x''_2-x'_1)-W(x''_2-x'_2)-1=U_p
 \end{cases}
\end{equation*}\)
                       
(52)
Используя выражения (45), (47) и (49) для  \(\sigma\)-м и малость обоих  \(\delta\sigma\)-м, линеаризуя выражения (52) в малой окрестности стационарного \(\sigma\), из выражения (50) получим:
\(W'(\sigma)/W'(0)<0\)                                (53)
Это выражение имеет прозрачный геометрический смысл (см. Fig. 14): солитоны, ширина которых увеличивается при повышении порога — неустойчивы.
С использованием выражения (35), условие устойчивости солитонных решений (53) запишется в более компактном виде:


Вспомним, что \(W(x)\) является первообразной функции \(G(x)\) (см. выражение (35)), тогда условие устойчивости солитонных решений (53) запишется в виде:
\(G(\sigma)/G(0)<0\)                                (54)
Из этого выражения можно сделать вывод: если функция \(G(x)\) всюду знакопостоянна, то солитонное решение может быть только неустойчивым.
Этот вывод имеет прозрачный физический смысл. Неустойчивый солитон есть минимальное начальное возмущение, необходимое для того, чтобы бистабильная среда переключилась в инверсное состояние. (В этом случае в обе стороны побегут два фронта, переключающие среду в противоположное состояние.) Если возмущение будет недостаточным, то: через несколько итераций оно (возмущение) исчезнет и бистабильная среда останется в том же состоянии, что и была.

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #12 : Января 28, 2016, 10:56 »

Далее рассмотрим модели конкретных физических, химических и т.д. явлений. В начале мы будем рассматривать одномерные модели типа (32) с различными функциями \(G(x)\). Потом мы рассмотрим двумерную и трёхмерные модели. И в заключение рассмотрим обобщение на релятивистское пространство (модель пространственно-временного генератора материи).


Возможно, читателю покажутся излишне грубыми аналогии, приведенные ниже, но, спешу предупредить, что это лишь первое приближение, учитывающее характер пространственных связей и бистабильность, и приведено оно как демонстрация возможностей, предоставляемых методом разрывных нелинейностей. При необходимости читатель сможет усовершенствовать приведенные ниже модели и применить к ним вышеизложенную процедуру. Детальный анализ моделей выходит за рамки целей, поставленных в данной работы.


I.2.2.3   Пример 1. Процессы горения в распределенной неограниченной в пространстве одномерной среде
Ниже рассмотрена модель, описывающая процессы горения в бистабильных средах (например, плоский фронт в камере сгорания двигателя автомобиля, реактивного двигателя или — травы в поле).
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на цветовую окраску графиков. Далее везде я буду ядро интегрального уравнения (функцию \(G(x)\)) на графике окрашивать в коричневый цвет (#840). Первообразная, бегущий фронт и зависимость его скорости от порога - всегда оранжевая (#F84).
Устойчивый солитон - синий (#00F). Неустойчивый - светло зелёный (салатовый -#0F0). Зависимость ширины солитона от величины порога - тёмно-зелёный (#080). Это должно облегчить восприятие информации.


Продолжим, однако...


Диффузионное распространение тепла описывается функцией:
\(G(x)=e^{-|x|}\)              (см. Fig. 15a)                            (55)
Удвоенная первообразная функции (55) имеет вид:
\(W(x)=(1-e^{-|x|})sign(x)\)              (см. Fig. 15b)                            (56)
После подстановки этого выражения в выражения (38), (39), (43) и (44), получим решения в виде стационарно бегущего фронта горения:
\(U_n(x)=(1-e^{-|x-x_n|})sign(x-x_n)\)              (см. Fig. 15b)                            (57)
Зависимость скорости фронта от величины порога:
\(U_p=(1-e^{-|\nu|})sign(\nu)\)              (см. Fig. 15b)                            (58)
Выражение для неустойчивого солитона:
\(U(x)=(1-e^{-|x-x_1|})sign(x-x_1)-(1-e^{-|x-x_2|})sign(x-x_2)\)              (см. Fig. 15c)                            (59)
Зависимость ширины солитона от величины порога:
\(U_p=-e^{-\sigma}\)              (см. Fig. 15d)                            (60)

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #13 : Января 28, 2016, 10:58 »

I.2.2.4   Пример 2. Возбуждение ревербератора
Рассмотрим ревербератор на базе обычного аудио-магнитофона  (см. рис.).
Пусть в обратной связи стоит компаратор,  а ширина зазора магнитной головки равна, условно, единице. Тогда передаточная функция этой системы может быть записана так:
\(G(x)=\begin{equation*}
\begin{cases}
   1 &|x|\le1/2\\
   0 &|x|>1/2
 \end{cases}
\end{equation*}\)
            \(-\infty<x<\infty\)                   
               (см. Fig. 16a)                 

(61)
Подобная функция в свертке выполняет простое усреднение по ширине зазора магнитной головки. Вид этой функции показан на Fig. 16, слева, вверху.
Тогда модель ревербератора может быть записана в виде (32)(19)(61),а решение в виде фронта имеет вид:

            \(U(x)=W(x-x_n)\)           
\(W(x)=\begin{equation*}
\begin{cases}
   2x &|x|\le 1/2\\
   1 &|x|>1/2\\
   -1 &|x|<1/2
 \end{cases}
\end{equation*}\)

      \(-\infty<x<\infty\)     
       (см. Fig. 16b)       


(62)
Зависимость его скорости от порога:

   \(U_p=W(\nu)\)    \(\Longrightarrow\)   \(\nu=U_p/2\) 

  (см. Fig. 16b)                 


(63)
Мы снова получили результат, который требуют от математика и математики - мы получили связь между свойством объекта (\(U_p\)) и параметром динамического процесса в нём \(\nu\): мы получили зависимость скорости бегущего фронта от величины порога компаратора. (Какие мы молодцы, но не будем останавливаться на достигнутом.)


Солитонное решение изображено на Fig. 16с и согласно (43) запишется так:
\(U(x)=W(x+\sigma/2)-W(x-\sigma/2)-1\)      \(-\infty<x<\infty\), (см. Fig. 16с)    (64)
Выражение для ширины этого солитона \(\sigma\) (см. Fig. 16d):
\(U_p=\begin{equation*}
\begin{cases}
   2\sigma-1 &\sigma\le 1/2\\
   0 &\sigma>1/2
 \end{cases}
\end{equation*}\)

\(\Longrightarrow\)    \(\sigma=(U_p+1)/2\)           

     (см. Fig. 16d)                 


(65)
И снова мы получили значимый результат: мы получили
размер (минимально необходимого для запуска
волнового процесса в ревербераторе) неустойчивого солитона
от величины порога компаратора. Мы получили связь свойств объекта
с параметрами динамического процесса в нем.  (Какие мы молодцы!)


Этот пример важен своей простотой и (потому) наглядностью.
Далее я рассмотрю более сложные вариации на тему,
обозначенную в этом примере. Поэтому (прежде чем двигаться дальше)
убедитесь в том, что вам всё понятно.

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #14 : Января 28, 2016, 11:00 »

I.2.2.5   Пример 3 и 4. Стационарные уравнения с другими, но качественно подобными распределениеми
Далее рассмотрим качественно подобное уравнение (32)(19)(66) и (32)(19)(67):
\(G(x)=e^{-x^2}/\sqrt{\pi}\); \(W(x)=erf(x)\)
\(U_n(x)=erf(x-x_n)\); \(U_p=erf(\nu)\)
\(U(x)=erf(x+\sigma/2)-erf(x-\sigma/2)-1\);
\(U_p=erf(\sigma)-1\)           






              (см. Fig. 17)                           






 (66)




\(G(x)=1/\pi(1-x^2)\); \(W(x)=2\ argtg(x)\)
\(U_n(x)=W(x-x_n)\); \(U_p=W(\nu)\)
\(U(x)=W(x+\sigma/2)-W(x-\sigma/2)-1\);
\(U_p=W(\sigma)-1\)           






              (см. Fig. 18)                           






 (67)






ВАЖНО: Попытки построить качественную теорию нелинейных моделей в дифференциальной форме записи предпринимаются давно, и основаны они на строительстве фазовых портретов нелинейных дифференциальных уравнений. Фазовый портрет - область пространства, каждая точка которого однозначно характеризует состояние системы. Размерность пространства фазового портрета пропорциональна порядку дифференциального оператора уравнения. И вот когда размерность этого пространства превышает третью - воображение человека отказывает и портрет теряет наглядность, а метод - теряет эффективность.


Вы могли убедиться, что качественно подобные ядра (функция \(G(x)\)) придают уравнениям качественно подобные свойства уравнениям. Различия лишь количественные. Это означает, что есть возможность строить классификацию нелинейных моделей в интегральной форме записи, и на её основе - строить качественную теорию нелинейных моделей.


Если переписать выше приведённые интегральные уравнения в дифференциальной форме, то мы получим нелинейные дифференциальные уравнения которые невозможно друг с другом сравнивать. ВЫВОД: Построить качественную теорию нелинейных дифференциальных уравнений невозможно ещё и по той причине, что качественно сравнивать дифференциальные уравнения нет никакой возможности.