Автор Тема: Глава 1. Метод разрывной нелинейности  (Прочитано 424 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #15 : Января 28, 2016, 11:01 »

I.2.2.6   Пример 5 и 6. Пример из химии - Две диффузии, Реакция Белоусова-Жаботинсского, "Мексиканская Шляпа"


До сих пор рассматривались лишь всюду положительные функции \(G(x)\). Далее рассмотрим более общий случай, а именно: пусть при \(|x|=y_1\) эта функция меняет знак на противоположный (см. Fig. 19a) (в нижеприведенном случае \(y_1=1\), см. выражение (68)).


\(G(x)=(1-x^2)e^{-x^2}/\pi\)
\(W(x)=2xe^{-x^2}/\pi-erf(x)\)
\(U_n(x)=W(x-x_n)\);
\(U_p=W(\nu)\)
\(U(x)=W(x+\sigma/2)-W(x-\sigma/2)-1\)
\(U_p=W(\sigma)-1\);
\(U_p=0,1\ \Rightarrow\ \sigma=0,68\ \&\ \sigma=1,7\)           






              (см. Fig. 19)                           






 (68)


ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: Выражение \(U_p=W(\sigma)-1\) при \(U_p=0,1\) имеет два решения: \(\sigma=0,68\) и \(\sigma=1,7\). Каждому из этих двух значений \(\sigma\) соответствует свой солитон. Если вы обратитесь к выражению (55), то легко установите, что солитон большего размера (\(\sigma=1,7\)) - устойчив. (Они изображён на Fig. 19c графиком синего цвета.) Солитон меньшего размера изображён графиком светло-зелёного цвета и является неустойчивым.







\(G(x)=2\left(1-|x|\right)e^{-2|x|}\)
\(W(x)=\left[1+\left(2|x|-1\right)e^{-2|x|}\right]sign(x)\)
\(U_n(x)=...\)
\(U_p(\nu)=...\)
\(U(x)=...\)
\(U_p(\sigma)=...\);
\(U_p=0,055\ \Rightarrow\ \sigma=0,59\ \&\ \sigma=2\)













              (см. Fig. 20)                           







    (69)
[/t][/t][/t]
До сих пор наши уравнения имели одно солитонное решение - неустойчивое, которое мы красили в салатный (светло-зелёный) цвет. Наличие двух (устойчивого и неустойчивого) решений является новым, качественно иным, свойством в нашей модели.


Кроме перечисленных трёх решений (двух солитонов и бегущего фронта), это уравнение богато бесконечным (счётным) числом других решение: многосолитонные решения и фронты, у которых впереди стоят солитоны, и которые равномерно движутся вместе с фронтом. Обсуждение этих решений выходит за рамки целей, поставленных в данной работе, а потому тут эти решения рассматриваться не будут.


Этот пример открывает новый класс нелинейных моделей, который обладает устойчивыми солитонными и многосолитонными решениями (устойчивыми и неустойчивыми). Поэтому будем называть эти нелинейные динамические системы - нелинейные динамические системы второго типа. (Первого типа пусть будут те, у которых ядро \(G(x)\) чётное и всюду положительное.)[/td][/tr][/table]

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #16 : Января 28, 2016, 11:03 »

I.2.2.7   Пример 7. Квантовая оптика: нелинейный интерферометр Физо, пространственный генератор на базе компаратора с идеальным фильтром нижних частот в обратной связи
\(G(x)=\frac{2sin(2\pi x)}{\pi x}\)

              (см. Fig. 20a)                           


 (70)
Подобная функция встречается в задачах когерентной оптики с дифракцией на щели. (См. рисунок.)


Уравнение (32)(19)(70) (в некотором приближении, разумеется, как, впрочем, и любая другая модель) описывает ревербератор типа нелинейный интерферометр Физо с щелью в обратной связи (см. [4], [19] и [22]), и является моделью пространственного генератора на базе компаратора с идеальным фильтром нижних частот в обратной связи.
Смотрим графики на Fig. 20...
Я буду относить такие модели ко второму типу. Эти модели имеют большее число стационарных решений, чем та, в которой ядро имеет только две точки пересечения оси абсцисс, но принципиально это ничего не меняет: имеется не единственное (множественное) решение в виде устойчивых уединённых решений. По этой причине (кроме периодического решения) имеются бесконечное число не периодических решений с бесконечным числом пересечения порога, чего до сих пор не было. Из-за большего разнообразия солитонных решений - разнообразие много солитонных решений этого уравнения превосходит возможности моего воображения.

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #17 : Января 28, 2016, 11:05 »

I.2.2.8   Пример 8. Уравнение Гинзбурга – Ландау. Третья проблема
Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение в обыкновенных производных вида:
\(\frac{D^2U^{IV}-2U'+'U(x)}{D}=F(U(x))\)

             \(-\infty<x<\infty\)             


 (72)
Это уравнение называется стационарным уравнением Гинзбурга – Ландау.
Функция Грина линейного дифференциального оператора в левой части уравнения (72) и ее удвоенная первообразная, имеет вид (см. Fig. 21):


Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение в обыкновенных производных вида:



\(D<1\)     
\(G(x)=\left(\frac{ch(bx)}{a}+\frac{sh(bx)}{b}\right)\frac{e^{-a|x|}}{4D}\)
\(W(x)=\left[1-\left(ch(bx)+\frac{sh(bx)}{2D^2ab}\right)e^{-a|x|}\right]sign(x)\)
\(a=\frac{\sqrt{D+1}}{\sqrt{2D}}\); \(b=\frac{\sqrt{1-D}}{\sqrt{2D}}\)



    (73)



\(D=1\)     
----------------------------------[/t][/t][/t]

\(G(x)=\left(1-|x|\right)\frac{e^{-a|x|}}{4}\)
\(W(x)=\left[1-\left(1+\frac{|x|}{2}\right)e^{-|x|}\right]sign(x)\)

----------------------------------



    (74)



\(D>1\)     
\(G(x)=\left(\frac{cos(bx)}{a}+\frac{sin(bx)}{b}\right)\frac{e^{-a|x|}}{4D}\)
\(W(x)=\left[1-\left(cos(bx)+\frac{sin(bx)}{2D^2ab}\right)e^{-a|x|}\right]sign(x)\)
\(a=\frac{\sqrt{D+1}}{\sqrt{2D}}\); \(b=\frac{\sqrt{D-1}}{\sqrt{2D}}\)



    (75)









ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на то, что при \(D=1\) свойства уравнения меняются качественно. Происходит бифуркация свойств уравнения (70), но это никак не сказывается на записи этого уравнения. Т.е., произошла бифуркация свойств уравнения, а уравнение никак не изменилось. Это указывает на ещё одну причину, по которой нельзя построить качественную теорию нелинейных дифференциальных уравнений.

[/td][/tr][/table]

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #18 : Января 28, 2016, 11:06 »

I.2.2.9   Пример 9. Четыре точки пересечения. Два солитона, стоящие рядом.
Рассмотрим решение в виде пары солитонов, стоящих рядом, на модели второго типа:


\(U(x)=W(x+\sigma+\delta/2)-W(x+\delta/2)+W(x-\delta/2)-W(x-\sigma-\delta/2)-1\)


\(\begin{equation*}
\begin{cases}
   W(\sigma)+W(2\sigma+\delta)-W(\sigma+\delta)-1=U_p\\
   W(\sigma)+W(\sigma+\delta)-W(\delta)-1=U_p
 \end{cases}
\end{equation*}\)






    (76)


Анализ двух солитонных решений я вынужден выбросить в этой публикации.


ЗАМЕЧАНИЕ: Монография была написана почти 20 лет назад. Из них более десяти лет (по независящим от меня причинам) я не занимался научной деятельностью, а потому не только не приобрёл новых навыков, а растерял былую квалификацию. Сегодня просто не могу проделать те расчёты, которые проделывал десять лет назад. А поскольку черновики не сохранились, то и результаты (полученные ранее) получить снова я не могу. Это причина, по которой я вынужден выбрасывать целые куски из монографии, чтобы опубликовать её сегодня.


Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #19 : Января 28, 2016, 11:08 »

I.2.2.10   Пример 10. Простейшие двухмерный и трехмерный солитоны
Модель бистабильной изотропной среды в двухмерном и трехмерном случае (в цилиндрических и сферических координатах соответственно) можно записать в виде:
\(U(\vec r)=\int\limits_{0}^{+\infty}G(\rho)\left\{\int\limits_{0}^{2\pi}F(\vec\rho,U(\vec r-\vec\rho))d\phi\right\}\rho d\rho\)
              \(\vec r\in E^2\)                 

(77)
\(U(\vec r)=\int\limits_{0}^{+\infty}G(\rho)\left\{\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}F(\vec\rho,U(\vec r-\vec\rho))cos(\theta)d\theta d\phi\right\}\rho^2d\rho\)
              \(\vec r\in E^3\)                 

(78)
Где нелинейность является ступенькой, и определяется выражением (19).


В силу изотропии этих моделей, в них следует ожидать наличие радиально симметричных решений. Рассмотрим простейший случай — обычные радиально симметричные солитоны, т.е. такие, пороговая граница которых есть: окружность и сфера.
Аналитическая запись того, что мы видим на этих картинках выглядит так:
\(F(U(\vec r))=\begin{equation*}
\begin{cases}
   1 &r<R\\
   U_p &r=R\\
   -1 &r>R
 \end{cases}
\end{equation*}\)

            \(\vec r\in E^2\) и \(\vec r\in E^3\) (см. Fig. 25 и Fig. 26)                 

(79)
Подставляя это выражение в уравнение (77) и (78), и проводя очевидные преобразования свертки радиально симметричной функции \(G(r)\) с кругом и шаром, заданными выражением (79), из выражений (77) и (78) получим:
\(U(r)=2\int\limits_{r-R}^{r+R}G(\rho)L(\rho,r,R)d\rho-1\)
              \(0<r<\infty\)                 

(80)
Где:
\(L(\rho,r,R)=4\rho\ Arcsin\left(\sqrt{(R^2-(r-\rho)^2)/(4r\rho)}\right)\)              \(\vec r\in E^2\)                  (81)
\(L(\rho,r,R)=\pi\rho\left(R^2-(r-\rho)^2\right)/r\)              \(\vec r\in E^3\)                  (82)
Используем пороговое тождество, которое в этом случае имеет вид:
\(U(R)=U_p(R)=2\int\limits_{0}^{2R}G(\rho)L(\rho,R,R)d\rho-1\)
                                  (83)
Так мы получили зависимость параметра стационарного солитона (его радиус \(R\) на уровне порога) в духмерной и в трёхмерной бистабильных средах от параметра этой среды (от величины порога \(U_p\))


Предварительные выкладки общего характера сделаны. Рассмотрим частные случаи.

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #20 : Января 28, 2016, 11:09 »

Частные случаи
Используем двухмерный и трёхмерный аналог функции (70) (синус икс поделить на икс):
\(G(r)=J_1(2\pi r)/r\)              \(\vec r\in E^2\) (см. Fig. 27)                  (84)
\(G(r)=\frac{1}{\pi r}\frac{d}{dr}\frac{sin(2\pi r)}{2\pi r}\)              \(\vec r\in E^3\) (см. Fig. 28)                  (85)
Особенностью этих двух функций является то, что Фурье спектр первой является круг, а второй  шар.
Кроме этого, известно, что в зоне Френеля функция (70) описывает дифракцию на щели, а (84) описывает дифракцию на отверстии, поэтому модели (70)(32)(19) и (78)(84)(19) может описывать стационарные решения нелинейного интерферометра Физо с щель. и с отверстием в обратной связи, соответственно.


Подставляя последовательно выражениям (84) и (85) в уравнение (80), после интегрирования (там, где это удаётся сделать аналитически), получим "образующую" для двухмерного и трехмерного солитонных решений:


\(U(r,R)=2\int\limits_{r-R}^{r+R}J_1(2\pi \rho)Arccos\left(\frac{\rho^2+r^2-R^2}{2r\rho}\right)d\rho -1\)
 \(\vec r\in E^2\) (см. Fig. 29, 31) 

(86)
\(U(r,R)=\frac{2}{\pi}\left(si(\small 2\pi (r+R)\normalsize)-si(\small 2\pi (r-R)\normalsize)-sin(\small 2\pi R\normalsize)\large\frac{sin(2\pi r)}{2\pi r}\normalsize\right)-1\)
 \(\vec r\in E^3\) (см. Fig. 30, 32)

(87)
Подставляя эти выражения в пороговое тождество (83) (и интегрируя там, где это удаётся) получим зависимость радиуса солитона на уровне порога от величины этого порога:
\(U_p(R)=J_o(2\pi R)\)                \(\vec r\in E^2\) (см. Fig. 33)             

(88)
\(U_p(R)=\frac{2}{\pi}\left(si(4\pi R)-\large\frac{sin^2(2\pi R)}{2\pi R}\right)\normalsize-1\)               \(\vec r\in E^3\) (см. Fig. 34)               

(89)
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на Fig. 34. Там, при некоторых радиусах \(R\), в центре солитонов возникает провал, который наверняка залезет ниже порога. Это означает, что при некоторых \(R\) трёхмерный солитон обязан иметь внутри себя полость (пузырь).
Анализ многосолитонных решений, солитонов с пузырями внутри, периодических и квази периодических решений, сложных и многомерных фронтов я оставляю тебе, мой читатель. Дерзай. И Бог тебе в помощь. Жаль, что я не увижу ничего из того, что ты сделаешь.


Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #21 : Января 28, 2016, 11:11 »

Заключение
Математическое моделирование (то, о чём речь идёт в моей монографии) позволяет нам устанавливать новые (ранее нам не известные) причинно следственные связи. Это позволяет нам предсказывать свойства объектов по внутреннему их устройству, и - предсказывать динамику событий в окружающем нас мире. Новые методы расширяют наши возможности в этом плане. Это - цель, стремясь достичь которую, я писал свою монографию.


В этой главе я показал много направлений для развития нелинейной динамики. На этом можно было бы остановиться, но...


Остаётся ответить на самый главный вопрос: "А зачем всё это нужно? Людям зачем ЭТО? Простым людям - ЗАЧЕМ?"


Можно было бы ответить так: Вы компьютером и сотовым телефоном пользуетесь? Ну вот - без математики ничего этого не было бы.


Математика - язык, на котором мы можем записать наше представление о том, как мир (нас окружающий) устроен. А потом ("перефразируя" математическими методами) написанное нами, мы сможем предсказывать динамику происходящих вокруг нас событий (предсказывать погоду, ураганы, землетрясения... к примеру), или предсказывать свойства вещей, которые мы могли бы создать (к примеру: космический корабль или микросхему).


Но сегодня нам не хватает общего представления о физических свойствах окружающего нас мира. У нас нет формулы, которую мы могли бы назвать моделью генератора материи и полей, из которой следовали бы описания всех физических законов, известных (и неизвестных) нынче нам. Т.е., все известные сегодня законы физики существуют сами по себе. Законы микромира и макромира описываются не связанными друг с другом уравнениями, и друг из друга не следуют. При этом релятивизм (большие скорости и малые времена) стоит особняком. Свойства материи (которые мы наблюдаем в микромире и в макромире) никак не следуют из релятивизма Эйнштейна.


Почему учёные до сих пор не имеют общего представления об окружающем нас мире?


Одна из причин в том, что математических методов анализа ("перефразирования") не достаточно. Тех что есть - явно не хватает. Так вот, моя монография предлагает три метода для анализа нелинейных динамических систем, и в умелых руках способна сгенерить новый этап в истории науки. Новые методы дадут возможность исследовать ранее неисследованные модели нелинейных динамических систем, лучше понять происходящее в микро и макро мирах. И на основе нового понимания позволит построить массу полезных вещей, о которых сегодня мы можем только мечтать в фантастических рассказах.


Прорыв в математике случился в 1704-том, или чуть раньше, когда Ньютон опубликовал статью, которую сегодня считают началом дифференциального и интегрального счислений. Но раньше него это сделал Лейбниц. Оспаривание авторства этого изобретения между двумя великими Учёными - одна из самых постыднейших склок в истории науки. А оспаривать и вправду было что: ведь с тех пор прошли сотни лет, и за эти сотни лет ничего (соизмеримого по значимости с изобретением дифференциального и интегрального счислений) в науке не произошло. Более того, уже сто лет наука топчется на месте из-за того, что она оккупирована бандами картавых нацистов, пиарасты которых пиарят глупые жидовские теории. (Это - главная причина, приведшая науку в состоянии стагнации.) Одна из таких глупых теорий - Специальная Теория Относительности (СТО) Эйнштейна.


Исходные постулаты, на которых строилась СТО - правильные. (Скорость света во всех инерциальных системах одинакова - факт.) Ошибка в выводах, которые сделал Эйнштейн. Эйнштейн сделал абсолютными поперечные масштабы (\(y\) и \(z\)), а нужно было сделать абсолютным время.

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #22 : Января 28, 2016, 11:12 »

Вторая ошибка Эйнштейна в том, что он считал релятивистские эффекты реальными, в то время как релятивистские эффекты - визуальные.


ПОЯСНЮ: Нет никакого ограничения на скорость. И релятивистские сокращения размеров - чисто визуальные эффекты. Реальная скорость может быть вычислена интегрированием ускорения, а ускорение - абсолютно, т.е. - во всех ИСО одинаково, и может быть измерено грузиком на пружине. А тот факт, что в ускорителях не удаётся разогнать массу до скоростей, превышающих скорость света, говорит лишь о том, что сила Кулона от скорости заряженной частицы зависит.


Нас учат, что сила Кулона записывается так: \(\vec{F}=q\vec{E}\)


а правильно записывать её так: \(\vec{F}=q\vec{E}(1-v^2/c^2)\)


Нам говорят, что энергия частицы в электрическом поле пропорциональна разности потенциалов: \(\Delta W=q\Delta U\)


А эксперимент говорит, что: \(\Delta W=\frac{mc^2}{2}(e^{-\frac{2qU_1}{mc^2}}-e^{-\frac{2qU_2}{mc^2}})\) (Это уравнение следует из предыдущего.)


А в общем случае сила, действующая на релятивистский заряд вычисляется так: \(\vec{F}=q\left(\vec{E}-[\vec{r}rotor\vec{E}]+[\vec{v}\vec{B}]\right)(1-v^2/c^2)\)


Здесь скорость \(v\) измеряется относительно источника поля.
---------------------------




Я заговорил о релятивизме потому, что уверен, что обобщая модель (78)(85)(19) на пространство и время, с учётом релятивизма, можно создать модель генератора материи и поля.


Много лет я потратил на то, чтобы поженить модель (78)(85)(19) с релятивизмом Эйнштейна. Но мои усилия оказались тщетными, не позволили мне построить теорию, из которой следовало бы что-то разумное. Всё время получалась какая-то чушь. Именно это заставило меня начать разбираться в релятивизме Эйнштейна. Я смог найти три ошибки в его глупой теории уже после того, как меня мироеды  выкинул из науки.


Мозг учёного продолжает решать научные задачи не зависимо от желания учёного. Решает даже если учёному за это не платят. Даже если он голоден.


Так как же должна выглядеть модель генератора материи?


Думаю, что так:


\(U(\vec r,t)=\int\limits_{0}^{+\infty}G(\rho)\left\{\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}F(U(\small\vec r-\vec\rho, t-|\vec r-\vec\rho|/c\normalsize))cos(\theta)d\theta d\phi\right\}\rho^2d\rho\)
   \(\vec r\in E^3\) 

(90)
Здесь \(G(r)\) задаётся выражением (85), а нелинейность - (19) с нулевым порогом (т.е. - сигнум).


Функция \(U(\vec r,t)\) гладкая, а потому можно считать, что уравнение (90) описывает поля. Но сделав в этом уравнении замену: \(V()=F(U())\) мы получим уравнение для материи:


\(V(\vec r,t)=F\left(\int\limits_{0}^{+\infty}G(\rho)\left\{\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}V(\small\vec r-\vec\rho, t-|\vec r-\vec\rho|/c\normalsize))cos(\theta)d\theta d\phi\right\}\rho^2d\rho\right)\)
   \(\vec r\in E^3\) 

(91)


Функция \(V(\vec r,t)\) - разрывная, принимает два значения (+1 и -1). Это то, что позволяет материи иметь ограниченный объём. Уравнение (91) описывает материю. (Посмотрите на Fig. 4 в начале этой главы. Разница между полем и частицей станет более наглядной.)


Ели я оказался прав, то это уравнение позволит нам заглянуть внутрь ядра атома, увидеть электрон, протон, нейтрон и фотон. Таблица Менделеева и уравнения Максвелла тоже должны следовать из этого уравнения. И много чего ещё мы могли бы увидеть, если б смогли построить модель генератора материи и полей.
----------------------


Это то, что подсказывает мне моя интуиция. На то, чтобы исследовать модель (90)(85)(19) у меня просто нет времени. (Я его потратил на борьбу с идиотизмом распиаренного евреями дурака - Эйнштейна.)

Оффлайн Masterov

  • Магистр
  • ****
  • Сообщений: 479
  • Репутация: +4/-0
    • Просмотр профиля
Re: Глава 1. Метод разрывной нелинейности
« Ответ #23 : Января 28, 2016, 11:14 »

Литература
[1]   Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М:Гос.Изд.Физ.Мат. Лит. 1959
[2]   Арансон И.С., Гапонов - Грехов А.В., Рабинович М.И.//ЖЭТФ. — 1985 Т.89 вып.1, №7 — с.92-105.
[3]   Афраймович В.А., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. ИФ АН СССР. 1989г.
[4]   Ахманов С.А., Воронцов М.А. Неустойчивость и структуры в когерентных нелинейно-оптических системах, охваченных двухмерной обратной связью. Нелинейные волны. Динамика и эволюция. М: Наука 1989. с. 228.
[5]   Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. - М.:Гостехиздат, 1946.
[6]   Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. М.:Наука 1979г.
[7]   Васильев В.А., Романенко Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. - М.:Наука 1987.
[8]   Верлань А.Ф., Москалюк С.С. Математическое моделирование непрерывных динамических систем. Киев: Наукова Думка, 1988.
[9]   Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. //Справочное пособие. Киев: Наукова думка. 1986г
[10]   Дирак П.А.М. К созданию квантовой теории поля. М.Наука 1990
[11]   Жаботинский А. М. Концентрационные автоколебания. М. Наука 1974. 311 с.
[12]   Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. 1971.
[13]   Климантович Ю.Л. Статистическая физика. - М.:Наука. 1982.
[14]   Мастеров А.В. Яхно В.Г. “Анализ стационарных волн в однокомпонентной возбудимой среде с нелокальными связями.” Сборник научных трудов. “Коллективная динамика возбуждений и структурообразование в биологических тканях” Горький 1988г. стр. 198.
[15]   Наумов А.И. Физика атомного ядра и элементарных частиц. М:Просвещение 1984
[16]   Пелиновский Д.Е., Яхно В.Г. Динамика структур в пульсирующем режиме нейроподобной сети. Препринт. ИПФ РАН Н.Новгород 1992 г.
[17]   Пригожин И. От существующего к возникающему: Время и сложность в физических науках: Пер. с англ./Под ред Ю. Л. Климантовича.   М.: Наука 1985г.
[18]   Стратанович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика. - М.:Наука. 1985.
[19]   Ikeda K. Optical turbulence: Chaos in optical bistability // J. Phys. C. 1983. Vol. 2, N 2. P. 183-182.
[20]   Masterov A.V., Tolkov V.N., and Yakhno V.G. Spatio-Temporal Structures in Opto-Electronic Divices. //Nonlinear Waves 1 Dynamics and Evolution. Eds. A.V.Gaponov-Grekhov, M.I.Rabinovich and J.Engelbreht. Springer-Verlag Berlin 1989.
[21]   Proceedings of the Royal Society, Edinburgh. A. vil.59 (1938-39), pp. 122-129 //THE RELATION BETWEEN MATHEMATICS.// By Professor P.A.M. DIRAC, F.R.S. Communicated to the Royal Society of Edinburgh on presentation of the Jamas Scott Prize, February 6,1939. (Ms. received February 25,1939)
[22]   Smith P.W., Tomlinson W.J. Bistable devices promise subpicosecond switching // IEEE Spectrum. 1981 June. P. 24. [g3c]


Более обширный список литературы можно получить в следующей работе:
[23]   Кернер Б.С., Осипов В.В. Автосолитоны. М.Наука. 1991 г.
[24]   Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.:Наука 1984г.