Автор Тема: Число Пи, как следствие изотропии пространства  (Прочитано 3989 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Masterov

  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 650
  • Репутация: +6/-2

Изотропия, это когда свойства объектов не меняются в пространстве, при повороте и смещении их в нм. А в нашем случае: площадь фигуры и объём объекта пропорциональны их размерам, и одинаковы в любой точке пространства, при любом повороте.


Следствием однородности и изотропности пространства является теорема Пифагора, а уж из этой теоремы получается всем хорошо известное число \(\pi\).


Начнём с теоремы Пифагора.


Теорема Пифагора


Тут всё ясно. (Комментарии излишни.)
Замечу только ещё раз, что поворот фигуры в пространстве не меняет её площадь.
Это свойство нашего (изотропного) пространства.
А ещё (и это важно): объём и площадь пропорциональны размерам объектов.
(Если в пространстве есть кривизна - это не работает.)
Именно этим свойствам нашего пространства мы обязаны существованием Великой теоремы - Теореме Пифагора.

Оффлайн Masterov

  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 650
  • Репутация: +6/-2

И так, теорема Пифагора у нас есть.
Получим из неё \(\pi\).
Для этого рассмотрим шестигранник, вписанный в ЕДИНИЧНУЮ окружность.


Периметр шестигранника равен 6. А периметр (длина) окружности = 2\(\pi\) = 6.283...


Поделив сторону шестигранника пополам, на окружности мы найдём точку, которая станет вершиной 12-ти-гранника.


Используя теорему Пифагора посчитаем периметр 12-ти граника.


Периметр 12-ти граника: \(12\sqrt{2-\sqrt{2+1}}\)=6.211...


Снова делим сторону пополам и по теореме Пифагора получаем периметр 24-ёх граника.


Периметр 24-ёх граника: \(24\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}\)=6.265...


Далее поступаем аналогично:


Периметр 48-ми граника: \(48\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}\)=6.279...


Ну и так далее...


Посмотрите на картинку.
Она должна прояснить детали проделанных процедур.

Оффлайн Masterov

  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 650
  • Репутация: +6/-2

Озадачим компьютер.
Пусть железяка считает.
Для этого нам понадобится итерационная формула,
которая будет считать периметр \(3\times 2^n\)-граника.


\(S_n=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}\)


\(S_{n+1}=\sqrt{2+S_n}\), \(S_o=1\)


\(\pi_n=3\times 2^n\sqrt{2-S_n}\)
========================================================================






Убедитесь в том, что формулы работают. Для этого запустите Блокнот (стандартная программа Windows), скопируйте в Блокнот текст:


<SCRIPT>
var str="3,1415926535897932384626433832795<TABLE>"


for(i=0,s=1,j=1;i<13;i++){
   str+="<TR><TH>"+(6*j)+"</TH><TD>"+(Math.sqrt(2-s)*3*j)+"</TD></TR>"
   s=Math.sqrt(2+s);
   j<<=1; // j= j*2
}


document.write(str+"</TABLE>")
</SCRIPT>


Сохраните этот текст в файле pi.html.
Найдите этот файл в Проводнике и кликнете мышкой в него дважды.
Запустится браузер, а в нём будет текст:


3,1415926535897932384626433832795
6   3
12   3.1058285412302497
24   3.132628613281237
48   3.139350203046872
96   3.14103195089053
192   3.1414524722853443
384   3.141557607911622
768   3.141583892148936
1536   3.1415904632367617
3072   3.1415921060430483
6144   3.1415925165881546
12288   3.1415926186407894
24576   3.1415926453212157
Последняя итерация даёт ошибку 2.632 10-9

----------------------------------------------------




ВЫВОД: Пи = 3.14... потому, что a²+b²=c², а последнее: потому, что пространство изотропно и в нём нет кривизны.

Оффлайн Masterov

  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 650
  • Репутация: +6/-2

Для вписанного в окружность многогранника:


\(\breve{\pi}_{n+1}=\frac{\sqrt{2}\breve{\pi}_n}{\sqrt{1+\sqrt{1-(\breve{\pi}_n/3/2^n)^2}}}\)
\(\breve{\pi}_o=3\)


Аналогичную формулу (используя Теорему Пифагора) можно получить для описывающего единичную окружность многогранника:


\(\hat{\pi}_{n+1}=\frac{2\hat{\pi}_n}{\sqrt{1+\sqrt{1+(\hat{\pi}_n/3/2^n)^2}}}\)
\(\hat{\pi}_o=2\sqrt{3}\approx 3.4641\)


Реальное \(\pi\) находится где-то между \(\breve{\pi}\) и \(\hat{\pi}\).


Асимптотически \(\pi\) вдвое ближе к вписанному. Т.е.:
\(\pi\approx\frac{2\breve{\pi}_n}{3}+\frac{\hat{\pi}_n}{3}\)
Эта формула позволяет увеличить точность вычисления (по вписанному многограннику) в 50 раз (примерно).
Начальные условия для этой формулы:
\(\pi_o=2\frac{3}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 3.1547\)
Весьма не плохо.

Оффлайн Masterov

  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 650
  • Репутация: +6/-2

Чёта СУМЛЕВАЮСЬ я в своих формулах.
(Давно их получил. Будем проверять.)


Для вписанного:
\(\pi_n=3\times 2^n\sqrt{2-S_n}\)


Следовательно:
\(S_n=2-(\pi_n/3/2^n)^2\)
===========================


\(S_{n+1}=\sqrt{2+S_n}\), \(S_o=1\)


Следовательно:
\(2-(\pi_{n+1}/3/2^{n+1})^2=\sqrt{4-(\pi_n/3/2^n)^2}\), \(\pi_o=3\)


\(\pi_{n+1}=3\times 2^{n+1}\sqrt{2-\sqrt{4-(\pi_n/3/2^n)^2}}\), \(\pi_o=3\)


Это  - должно быть правильная формула.
(Проверим...)


Для 12-ти ганника:
\(\pi_1=6\sqrt{2-\sqrt{2+1}}=6\sqrt{2-\sqrt{3}}=\)3.106
\(\pi_2=12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\)3.1326
\(\pi_3=24\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}=\)3.13935
\(\pi_{10}=3\times 1024\sqrt{2-\sqrt{2+..+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}=\)3.1415925
(Откуда я взял те формулы для Пи? - ЗАГАДКА!)


Оффлайн Николай Григорьевич Зуб

  • Administrator
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 11 696
  • Репутация: +29/-0
  • Пол: Мужской
Если "пи" принять за единцу, то сколько  корней можно будет из неё извлечь !?
Если "пи" принять за единицу, то это уже не десятичная система счисления...

Оффлайн Slava Parkov

  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1 019
  • Репутация: +0/-0
  • Пол: Мужской
Если "пи" принять за единицу, то это уже не десятичная система счисления...
Независимо от системы счисления, пи не может быть единицей, так как не удовлетворяет определению единицы (у нуля и единицы есть определения):
Единица - это двусторонний нейтральный элемент по отношению к умножению (это из теории колец).
То есть для любого \( u \) должно выполняться:
  • \( u*1=u \)
  • \( 1*u=u \)
При этом умножение, это не обязательно умножение, которые мы имеем в виду для нормальных чисел, а то что удовлетворяет аксиомам умножения.


Оффлайн sam gorelik

  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 2 233
  • Репутация: +0/-0
  • Пол: Мужской
  • samgor
Независимо от системы счисления, пи не может быть единицей, так как не удовлетворяет определению единицы (у нуля и единицы есть определения):
Единица - это двусторонний нейтральный элемент по отношению к умножению (это из теории колец).
То есть для любого \( u \) должно выполняться:
  • \( u*1=u \)
  • \( 1*u=u \)
При этом умножение, это не обязательно умножение, которые мы имеем в виду для нормальных чисел, а то что удовлетворяет аксиомам умножения.


Можно построить любую алгебру, но будет ли это иметь какой-то физически смысл, зависит от рассматриваемой задачи.
Пи - это число отражающее отношение прямолинейной и криволинейной систем координат (в данном случае криволинейной по окружности). При вычислениях в такой системе координат можно, наверное,  проводить оценки в величинах кратных Пи с помощью обычной алгебры.

Оффлайн Николай Григорьевич Зуб

  • Administrator
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 11 696
  • Репутация: +29/-0
  • Пол: Мужской
Независимо от системы счисления, пи не может быть единицей, так как не удовлетворяет определению единицы (у нуля и единицы есть определения):
Единица - это двусторонний нейтральный элемент по отношению к умножению (это из теории колец).
То есть для любого \( u \) должно выполняться:
  • \( u*1=u \)
  • \( 1*u=u \)
При этом умножение, это не обязательно умножение, которые мы имеем в виду для нормальных чисел, а то что удовлетворяет аксиомам умножения.
Какой вопрос, такой ответ.
Но я не понял, почему нельзя принять пи за единицу.
Не понятно зачем это надо.
Но можно все уравнения поделить на пи. В этом случае все пи превратятся в единички.

Оффлайн sam gorelik

  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 2 233
  • Репутация: +0/-0
  • Пол: Мужской
  • samgor
Какой вопрос, такой ответ.
Но я не понял, почему нельзя принять пи за единицу.
Не понятно зачем это надо.
Но можно все уравнения поделить на пи. В этом случае все пи превратятся в единички.
Не получится. Определение 1 и 0 задает линейную алгебру (аддитивность и коммутативность). Даже при делении на Пи (а оно еще и трансцендентно), базовые условия не изменятся. Произойдет только изменения масштаба.

Оффлайн Николай Григорьевич Зуб

  • Administrator
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 11 696
  • Репутация: +29/-0
  • Пол: Мужской
Не получится. Определение 1 и 0 задает линейную алгебру (аддитивность и коммутативность). Даже при делении на Пи (а оно еще и трансцендентно), базовые условия не изменятся. Произойдет только изменения масштаба.
Не понял почему.
Пи - это число. Число, как и единица.
Если мы принимаем Пи за единицу, то пи + пи будет 2 пи, т е 2 единицы.
Но зачем это, я так и не понял.

Оффлайн Николай Григорьевич Зуб

  • Administrator
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 11 696
  • Репутация: +29/-0
  • Пол: Мужской
Если бы число ПИ можно было выразить путём бесконечного сложения бесконечно малых величин!
Мы бы их сумели сложить, поверьте, Николай! ;)
Это число не складывается не из суммы квадратов,  кубов и даже более старших размерностей к сожелению... :(
"пи" можно принять за единицу, это уже будет не десятичная система счисления... Но зачем это надо, не понятно.

Оффлайн Slava Parkov

  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1 019
  • Репутация: +0/-0
  • Пол: Мужской
Если бы число ПИ можно было выразить путём бесконечного сложения бесконечно малых величин!
Мы бы их сумели сложить, поверьте, Николай! ;)


\(\pi\)
« Последнее редактирование: Августа 28, 2016, 10:49 от Masterov »

Оффлайн Николай Григорьевич Зуб

  • Administrator
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 11 696
  • Репутация: +29/-0
  • Пол: Мужской
Пи - это не число, а отношение длины окружности к радиусу. При этом безразлично в каких единицах измеряются эти величины.
Пи — иррациональное число.

Оффлайн sam gorelik

  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 2 233
  • Репутация: +0/-0
  • Пол: Мужской
  • samgor
Еще раз.
Пи является числом (константой) только для Евклидового (плоского) пространства.
Для остальных пространств Пи является переменной величиной, зависящей от соотношения радиуса кривизны и радиуса окружности.
Для Меркурия отличие Пи от константы уже заметно для многолетних астрономических наблюдений и выражается во вращении перигелия.
На Земле отношение длины экватора(длина окружности) к половине длины меридиана (радиус) примерно 2. Это иллюстрирует Ваше высказывание про число Пи на  поверхности шара.И это число не обязательно иррациональное. Иррациальность "спряталась" в "кривизне" поверхности.